Définition

• Est une technique d’analyse factorielle
• S’applique à des variables quantitatives
• Va permettre de former des facteurs qui sont des combinaisons linéaires de variables initiales
• Elle fonctionne donc sur le principe de la corrélation.

• L’espace géographique n’est pas pris en compte dans l’analyse (pas d’auto-corrélation spatiale)
• C’est à l’utilisateur d’interpréter les configurations spatiales a posteriori, en cartographiant les résultats de l’analyse.

• L’ACP privilégie une entrée par les variables dans le but de réduire leur nombre,
• et non une entrée par les individus.

Données en entrée

• Les données doivent être quantitatives et exprimées :

  • Dans une même unité, à condition d’être centrées
  • Dans des unités différentes, à condition d’être standardisées
  • Plutôt des taux (mesures pas trop éloignées, % ou indices)

Si les données sont exprimées dans une même unité (ex : % ou indice) :

• La somme en ligne d’une partie des variables ne doit pas être identique pour l’ensemble des lignes.
• ex : si l’on étudie le % de PCS (en 6 modalités) par région, on n’en retient que 5, la 6e est sous-entendue.

Méthode

• Géométriquement : On cherche la droite qui correspond à l’allongement maximal du nuage de points en n dimensions
  • Il prend en compte la plus grande part de variance (différence) du nuage
  • Comme pour la régression linéaire : c’est la droite la plus proche de tous les points à la fois

« La direction de l’axe d’allongement maximum du nuage de points est celle du vecteur propre de la matrice des corrélations associée à sa plus grande valeur propre » .

Sanders L., 1989, p28

• Dans une ACP normée (ACP la plus souvent utilisée), les axes sont orthogonaux (pas de redondance)
• Le second axe d’allongement correspond à la 2e plus grande valeur propre etc.
• Il y a autant d’axe que de variables initiales

ACP d’une grenouille

ACP sur deux variables

• On passe alors de variables standardisées à des facteurs / composantes / axes.
• Les facteurs sont notés Fi et classés par ordre croissant.
• Le premier facteur F1 résume le plus d’information. Le second un peu moins … jusqu’à Fn.
• Chaque facteur est indépendant des autres.
  • => aucune corrélation entre eux
  • => géométriquement, ils sont perpendiculaires 2 à 2
  • => Aucune redondance entre facteurs

Inteprétation

Les résultats d’une ACP sont de 4 types :

• Relatifs aux valeurs propres (valeurs propres brutes, part de variance et part de variance cumulée)
• Les Coordonnées sur les axes des variables et des individus
• Les Contributions des variables/individus à la formation des axes
• Les Qualités de représentation des variables/individus par les axes

• Les facteurs sont caractérisés par :

  • Leur valeur propre (eigenvalues) Elle correspond à la variance (le taux d’inertie) du nuage de points surcet axe. Elle est interprétable comme la variance relative (part dans la variance totale), c’est-à-dire la part d’information observable sur cet axe; Plus elle est élevée, plus le facteur « porte » d’informations.

  • Leur part de variance et leur pourcentage cumulé
    La part de variance totale prise en compte par un facteur est en effet définie comme le rapport entre la valeur propre qui caractérise le facteur et la somme des valeurs propres;

Valeurs propres

• Les coordonnées de variables :

  • Elles correspondent au coefficient de corrélation des variables avec les facteurs (= le cosinus de l’angle entre la variable et l’axe factoriel)
  • Elles permettent d’identifier la composition de chaque facteur ainsi que les oppositions / associations entre les variables sur le facteur;
  • Attention, des coefficients de corrélations positifs ou négatifs ne correspondent pas à des sous / sur-représentations.

Coordonnées des variables

• Les coordonnées des individus :

  • Correspondent à la position de chaque individu géographique par rapport à l’axe factoriel étudié.
  • On les obtient en multipliant les données centrées-réduites par les coefficients des vecteurs propres;
  • Attention, les coordonnées des individus ne sont pas des coefficients de corrélation contrairement aux coordonnées des variables. Elles peuvent être inférieures à -1 ou supérieures à +1;

Coordonnées des individus

• Les contributions (CTR) des variables/individus aux axes factoriels :

  • Mesurent le rôle relatif de chaque variable/individu dans la construction (la caractérisation) de l’axe factoriel;
  • Permettent de repérer quelles sont les variables les plus contributives par axe;
  • Permettent d’identifier les variables qui définissent le mieux les axes ;les plus contributives
  • Permettent d’isoler les variables qui ont un comportement exceptionnel (ou aberrant).
    
  • La somme des contributions vaut 1 (ou 1000); (Pareil pour les individus)

Contributions des variables

• La qualité (QLT ou Cos2) de représentation d’une variable sur un axe factoriel :

  • est donnée par le carré de sa coordonnée sur cet axe ;
  • mesure la part de la variable expliquée par l’axe ;
  • Additionner le carré de sa coordonnée pour deux axes, c’est obtenir la part de la variable expliquée sur ce plan factoriel.
  • Les cosinus² correspondent simplement aux coordonnées des variables élevées au carré. Il s’agit donc des coefficients de détermination entre la variable et l’axe

• Pour les individus :

  • permet de caractériser les individus par les axes
  • mesure la part de l’écartement d’un individu au centre de gravité prise en compte par un axe

Qualité de représentation des variables

Import général

library(dplyr)
library(ggplot2)
library(scales)
library(tidyr)

library(ade4)

Calcul d’une ACP avec ade4

str(iris)

'data.frame':   150 obs. of  5 variables:
 $ Sepal.Length: num  5.1 4.9 4.7 4.6 5 5.4 4.6 5 4.4 4.9 ...
 $ Sepal.Width : num  3.5 3 3.2 3.1 3.6 3.9 3.4 3.4 2.9 3.1 ...
 $ Petal.Length: num  1.4 1.4 1.3 1.5 1.4 1.7 1.4 1.5 1.4 1.5 ...
 $ Petal.Width : num  0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.3 0.2 0.2 0.1 ...
 $ Species     : Factor w/ 3 levels "setosa","versicolor",..: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

donneesExemple <- iris %>% select(-Species)

acpExemple <- dudi.pca(df = donneesExemple, center = TRUE, scale = TRUE, scannf = FALSE, 
    nf = ncol(donneesExemple))

Représentation des valeurs propres avec ggplot2

vPropres <- data_frame(Composante = 1:length(acpExemple$eig), VP = acpExemple$eig, 
    VAR = VP/sum(VP), CUMVAR = cumsum(VAR))
ggplot(vPropres) + geom_bar(aes(x = factor(Composante), VAR), stat = "identity", 
    fill = "grey") + geom_point(aes(x = Composante, y = CUMVAR)) + geom_line(aes(x = Composante, 
    y = CUMVAR)) + scale_x_discrete(name = "Composante Principale") + scale_y_continuous(name = "Part de la variance totale", 
    labels = percent) + theme_bw()

Représentation des coordonnées des variables avec ade4

s.corcircle(acpExemple$co)

Représentation des coordonnées des variables avec ggplot2

coordsVar <- as_data_frame(acpExemple$co) %>% mutate(VAR = row.names(acpExemple$co))

ggplot(coordsVar, aes(x = Comp1, y = Comp2)) + geom_hline(yintercept = 0) + 
    geom_vline(xintercept = 0) + geom_segment(x = 0, y = 0, aes(xend = Comp1, 
    yend = Comp2)) + geom_label(aes(label = VAR), alpha = 0.5) + scale_x_continuous(limits = c(-1, 
    1)) + scale_y_continuous(limits = c(-1, 1)) + coord_fixed()

Représentation des coordonnées des individus avec ggplot2

coordsIndiv <- as_data_frame(acpExemple$li)

ggplot(coordsIndiv, aes(Axis1, Axis2)) + geom_point() + geom_hline(yintercept = 0) + 
    geom_vline(xintercept = 0) + coord_fixed()

Ajout d’une variable descriptive

coordsIndiv$Species <- iris$Species

ggplot(coordsIndiv, aes(Axis1, Axis2, group = Species, col = Species)) + geom_point() + 
    stat_ellipse() + geom_hline(yintercept = 0) + geom_vline(xintercept = 0) + 
    coord_fixed()

Calcul et représentation des contributions des variables

contribs <- inertia.dudi(acpExemple, row.inertia = TRUE, col.inertia = TRUE)

contribVar <- as_data_frame(contribs$col.abs) %>% mutate(Var = row.names(contribs$col.abs))

contribVarLong <- contribVar %>% gather(key = Axis, value = Value, -Var) %>% 
    mutate(Value = Value/10000)

ggplot(contribVarLong, aes(Axis, Value, fill = Var)) + geom_bar(stat = "identity") + 
    scale_y_continuous(labels = percent)

Représentation des contributions des individus

ctrIndiv <- as_data_frame(contribs$row.abs/10000)
colnames(ctrIndiv) <- paste("CTR", colnames(ctrIndiv), sep = "")

coordsIndiv <- coordsIndiv %>% cbind(ctrIndiv)

ggplot(coordsIndiv, aes(Axis1, Axis2, size = CTRAxis1)) + geom_point() + geom_hline(yintercept = 0) + 
    geom_vline(xintercept = 0) + coord_fixed()

Calcul et représentation des qualité des variables

On repart de la variable contribs qui contient aussi cette information

qltVar <- as_data_frame(contribs$col.rel) %>% mutate(Var = row.names(contribs$col.rel)) %>% 
    select(-con.tra)

qltVarLong <- qltVar %>% gather(key = Axis, value = Value, -Var) %>% mutate(Value = Value/10000)

ggplot(qltVarLong, aes(factor(Axis), Value, fill = Axis)) + geom_bar(stat = "identity", 
    position = "dodge") + facet_wrap(~Var) + scale_y_continuous(labels = percent)

Représentation de la qualité des individus

qltIndiv <- as_data_frame(contribs$row.rel/10000)
colnames(qltIndiv) <- paste("QLT", colnames(qltIndiv), sep = "")

coordsIndiv <- coordsIndiv %>% cbind(qltIndiv)

ggplot(coordsIndiv, aes(Axis1, Axis2, col = QLTAxis1)) + geom_point() + geom_hline(yintercept = 0) + 
    geom_vline(xintercept = 0) + scale_colour_gradient2(low = "navyblue", mid = "white", 
    high = "firebrick3") + coord_fixed()

Énoncé

• Réalisez une ACP sur le tableau de données tabSocial, qui contient des variables sociales structurelles sur votre aire d’étude.
• Vous pourrez en cartographier les coordonnées des individus (les communes) sur les axes.

Exemple de cartographie

library(cartography)

times100 <- function(x) {
    x * 100
}
tabSocialPct <- tabSocial %>% mutate_each(funs(times100), -COMMUNE)

choroLayer(spdf = toulCom, df = tabSocialPct, spdfid = "INSEE_COM", dfid = "COMMUNE", 
    var = "txRETRAITES", method = "quantile", nclass = 5)

Cours

• C. Cottineau & A. Pavard - Cours d’Analyse de Données et Représentations Cartographiques, L3 (Université Paris 1)
• Sanders L., 1989, L’analyse statistique des données en géographie

R

• R : Groupe ElementR - R et Espace (Framabook)